수학2 - 1. 분수방정식과 무리방정식

1-1. 분수방정식

1. 정의

: 미지수 x의 다항식에 관한 분수식을 포함하고 있는 방정식

 

2. 풀이 방법

① 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 정리한 뒤,

② 정리된 방정식을 계산

③ 방정식의 근을 확인하고 이 근이 원래의 분수방정식 분모를 '0'으로 만드는 무연근이 있는지 확인

④ 무연근은 해답에서 제외

*무연근 (無: 없을 무, 緣: 연줄/연고 연, 根: 해 근)

: 변형된 방정식을 풀고 얻은 근 중에 원래의 방정식에 적용할 수 없는 근

 

3. 분수방정식의 예

식.1 분수방정식

 

우선 양변에 아래 식.2의 최소공배수를 곱한 뒤 정리하면 식.3이 된다.

 

식.2 최소공배수

 

식.3

 

구한 2개의 근 중 -1은 원래의 분수방정식에 대입하면 분모가 '0'이 되므로 무연근이다.

이 무연근을 제외하면 x의 해는

식.4

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1-2. 무리방정식

1. 정의

: 미지수 x의 다항식에 관한 무리식을 포함하고 있는 방정식

 

2. 풀이 방법

① 각 항을 적절히 이항한 뒤 양변을 제곱하여,

② 정리된 방정식을 계산

③ 방정식의 근을 확인하고 이 근이 원래의 무리방정식을 만족시키지 못하는 무연근이 있는지 확인

④ 무연근은 해답에서 제외

(※ 문제에서 어떠한 조건이 주어질 경우 그래프를 이용)

 

3. 무리방정식의 예1

식.5 무리방정식

이항 후 양변을 하면 식.6과 같이 된다.

 

식.6

 

구한 2개의 근 중 1은 원래의 무리방정식을 만족시키지 못하므로 무연근이다.

이 무연근을 제외하면 x의 해는

식.7

 

3. 무리방정식의 예2

아래 식.8의 무리방정식이 실근을 가지기 위한 실수 a의 범위는?

 

식.8 무리방정식

적절히 이항하면

식.9

 

여기서 좌변과 우변의 항을 가지고 함수를 만들어서

 

식.10

 

그래프를 그린 후 두 함수가 교점을 가지는 조건을 구한다.

그림.1

 

∴ a≤0 일 때, 교점이 발생하며 즉, 원래의 무리방정식이 실근을 가질 수 있는 조건이 된다.

수학2_1. 분수방정식과 무리방정식_연습 문제.jpg

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