수학2 - 8. 미분 가능성과 연속성

8-1. 미분 가능성과 연속성의 관계

1. 임의의 점에서 연속성

: 함수 f(x)가 'x=a' 에서 미분 가능하면 f(x)는 'x=a' 에서 연속이다.

(역은 성립하지 않음)

 

2. 임의의 구간에서 연속성

: 함수 f(x)가 임의의 구간에서 미분 가능하면 f(x)는 그 구간에서 연속이다.

(역은 성립하지 않음)

8-2. 롤의 정리

: 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속이고

: 또 구간 (a, b)에서 미분 가능할 때,

: 'f(a) = f(b)' 이면 식.1을 만족하는 c가 적어도 하나 존재한다. 

(a < c < b)

식.1

그림.1 롤의 정리

8-3. 평균값의 정리

: 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속이고

: 또 구간 (a, b)에서 미분 가능할 때,

: 아래 식.2를 만족하는 c가 적어도 하나 존재한다. 

(a < c < b)

식.2

그림.2 평균값의 정리