수학2 - 9. 미분과 극대, 극소

9-1. 함수의 증가, 감소 상태

1. 함수의 증가 상태

구분	내용	그래프
증가 상태-1	함수 f(x)에서 양수 b에 대하여 아래 식을 만족하면 'x=a'에서 증가 상태이다.
	식.1 함수의 증가 상태
증가 상태-2	일정 구간에서 함수 f(x)가 미분 가능하고, 아래 식을 만족하면 그 구간에서 증가 상태이다.
	식.2 양의 기울기
역) 함수 f(x)가 미분 가능하고 그 구간에서 증가 상태라면 아래 식을 만족한다.
식.3

 

2. 함수의 감소 상태

구분	내용	그래프
감소 상태-1	함수 f(x)에서 양수 b에 대하여 아래 식을 만족하면 'x=a'에서 감소 상태이다.
감소 상태-2	일정 구간에서 함수 f(x)가 미분 가능하고, 아래 식을 만족하면 그 구간에서 감소 상태이다.
역) 함수 f(x)가 미분 가능하고 그 구간에서 감소 상태라면 아래 식을 만족한다.

 

3. 함수의 일정한 상태

: 일정한 구간에서 함수 f(x)가 미분 가능하고, f'(x)=0 을 만족한다면 그 구간에서 일정한 값을 가진다.

: 즉, 상수이다.

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9-2. 함수의 극대, 극소

함수의 극대, 극소

1. 함수의 극대

구분	내용
극대-1	연속함수인 f(x)가 'x=a'에서 상태가 변할 때, 증가 → 감소 상태로 변한다면 'x=a'에서 '극대' 라 하며 f(a)는 '극댓값' 이라 한다.
극대-2	f'(a)=0이고 'x=a'를 기점으로 f'(x)의 값이 (+) → (-)로 변한다면 'x=a'에서 '극대' 라 하며 f(a)는 '극댓값' 이라 한다.

 

2. 함수의 극소

구분	내용
극소-1	연속함수인 f(x)가 'x=a'에서 상태가 변할 때, 감소 → 증가 상태로 변한다면 'x=a'에서 '극소' 라 하며 f(a)는 '극솟값' 이라 한다.
극소-2	f'(a)=0이고 'x=a'를 기점으로 f'(x)의 값이 (-) → (+)로 변한다면 'x=a'에서 '극소' 라 하며 f(a)는 '극솟값' 이라 한다.

 

3. 2계 미분을 통한 극대, 극소 판별

구분	내용
극대	f'(a)=0 이고 f''(a)<0이면, 'x=a' 에서 '극대' 이다.
극소	f'(a)=0 이고 f''(a)>0이면, 'x=a' 에서 '극소' 이다.

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9-3. 곡선의 요철, 변곡점

1. 곡선의 요철

함수 y=f(x)가 일정 구간에서

조건	요철 형태
f''(x) > 0	아래로 볼록
f''(x) < 0	위로 볼록

(*요철 凹: 오목할 요, 凸: 볼록할 철 / 오목함과 볼록함)

 

2. 변곡점

f''(a) = 0 이고 'x=a' 를 기점으로 f''(x)의 부호가 바뀌는 경우, 점 (a, f(x))를 함수 f(x)의 '변곡점' 이라 한다.

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9-4. 곡선의 개형

: 곡선의 개형을 확인하여 주어진 함수를 한 눈에 알아볼 수 있습니다.

: 아래의 순서로 곡선의 개형을 그립니다.

 

① 곡선의 범위를 확인

② 곡선과 x, y축의 교점을 확인

③ 함수를 1계 미분하여 f'(x)를 통해 '극대, 극소, 증가, 감소' 확인

④ 함수를 2계 미분하여 f''(x)를 통해 곡선의 요철 방향과 변곡점 확인

 

예) 식.1에 있는 함수의 개형은?

식.1

1계, 2계 미분 방정식은 아래 식.2와 같습니다.

식.2

 

곡선 그래프의 개형을 표로 나타내보면

x	-∞	~	0	~	2	~	4	~	6	+∞
y'		(+)	0	(-)	(-)	(-)	0	(+)	(+)
y''		(-)	(-)	(-)	0	(+)	(+)	(+)	(+)
y	-∞		0 (극대)		-16 (변곡점)		-32 (극소)		0	+∞

 

위 표를 바탕으로 그래프의 개형을 그리면 아래와 같습니다.